बताइए कि निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन सत्य है या असत्य:
$(1)$ यदि एक समबाहु त्रिभुज की भुजा $10 \, cm$ है,तो उसका अर्ध-परिमाप $30 \, cm$ है।
$(2)$ एक समद्विबाहु त्रिभुज में,दो समान भुजाओं की लंबाई $20 \, cm$ है,तो उसका अर्ध-परिमाप $20 \, cm$ है।
$(3)$ $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ},$ $AB = 6 \, cm$ और $BC = 8 \, cm$ है,तो उसका अर्ध-परिमाप $12 \, cm$ है।

(A) $(1)$ असत्य। $10 \, cm$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का परिमाप $3 \times 10 = 30 \, cm$ होता है। अतः,अर्ध-परिमाप $s = \frac{30}{2} = 15 \, cm$ होगा,न कि $30 \, cm$।
$(2)$ असत्य। एक समद्विबाहु त्रिभुज में दो समान भुजाएँ $20 \, cm$ हैं। तीसरी भुजा के बिना अर्ध-परिमाप $20 \, cm$ निर्धारित नहीं किया जा सकता। यदि तीसरी भुजा $0$ भी हो (जो असंभव है),तो भी अर्ध-परिमाप $20 \, cm$ होगा। वास्तव में,अर्ध-परिमाप $20 \, cm$ से अधिक होगा।
$(3)$ सत्य। एक समकोण त्रिभुज में जहाँ $AB = 6 \, cm$ और $BC = 8 \, cm$ है,कर्ण $AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 \, cm$ होगा। परिमाप $6 + 8 + 10 = 24 \, cm$ होगा। अतः,अर्ध-परिमाप $s = \frac{24}{2} = 12 \, cm$ होगा।