નીચેનું વિધાન સત્ય છે કે અસત્ય તે જણાવો. તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.
બિંદુઓ $A(-6, 10)$,$B(-4, 6)$ અને $C(3, -8)$ સમરેખ છે અને $AB = \frac{2}{9} AC$ થાય છે.

(A) સત્ય.
પ્રથમ,આપણે બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધીને ચકાસીએ કે તેઓ સમરેખ છે કે નહીં.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
અહીં,$x_1 = -6, x_2 = -4, x_3 = 3$ અને $y_1 = 10, y_2 = 6, y_3 = -8$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} | -6(6 - (-8)) + (-4)(-8 - 10) + 3(10 - 6) |$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} | -6(14) + (-4)(-18) + 3(4) |$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} | -84 + 72 + 12 | = \frac{1}{2} | 0 | = 0$.
ક્ષેત્રફળ $0$ હોવાથી,બિંદુઓ સમરેખ છે.
હવે,અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $AB$ અને $AC$ શોધીએ.
$AB = \sqrt{(-4 - (-6))^2 + (6 - 10)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$AC = \sqrt{(3 - (-6))^2 + (-8 - 10)^2} = \sqrt{9^2 + (-18)^2} = \sqrt{81 + 324} = \sqrt{405} = 9\sqrt{5}$.
હવે,સંબંધ $AB = \frac{2}{9} AC$ ચકાસીએ:
$\frac{2}{9} AC = \frac{2}{9} \times 9\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
$AB = 2\sqrt{5}$ હોવાથી,આ સંબંધ સાચો છે.