मान लीजिए कि $A$ कोई $3 \times 3$ नॉन-सिंगुलर आव्यूह है और $(A - 3I)(A - 5I) = O$,जहाँ $I = I_3$ और $O = O_3$ है। यदि $\alpha A + \beta A^{-1} = 4I$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

List-$I$ की वस्तुओं को List-$II$ की वस्तुओं के साथ सुमेलित करें और सही विकल्प चुनें:

List-$I$	List-$II$
$(A)$ यदि $A$ कोटि $3$ का एक व्युत्क्रमणीय (non-singular) आव्यूह है और $|A|=a$,तो $|\text{adj}(A)|=$	$(I)$ शून्य आव्यूह
$(B)$ $A$ कोटि $3$ का एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है और $B$ कोटि $3$ का कोई ऐसा आव्यूह है कि $AB=O$,तो $B$ है	$(II)$ $a^2$
$(C)$ $\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ \cos(a-b)y & \cos ay & \cos(a+b)y \\ \sin(a-b)y & \sin ay & \sin(a+b)y \end{vmatrix}$ किस पर निर्भर नहीं करता है	$(III)$ $b$
$(D)$ $A$ कोटि $3$ का एक वर्ग आव्यूह है और $B=A-A^T$,तो $B$ है	$(IV)$ $a$
	$(V)$ $0$

यदि $A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ है, तो $A^2 - 5A + 14I = 0$ होता है। निम्नलिखित में से कौन सा $A^2$ के बराबर है?

यदि $a, b, c$ तीन सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $a^2 + b^2 + c^2 = 0$ और $\begin{vmatrix} (b^2 + c^2) & ab & ac \\ ab & (c^2 + a^2) & bc \\ ac & bc & (a^2 + b^2) \end{vmatrix} = K a^2 b^2 c^2$ है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

आव्यूह $A$,$A^2 = 2A - I$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है। तो $n \ge 2$ के लिए,$A^n$ का मान क्या होगा? $(n \in N)$

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 5 & \sin^2 \theta & \cos^2 \theta \\ -\sin^2 \theta & -5 & 1 \\ \cos^2 \theta & 1 & 5 \end{bmatrix}$ है। तो $\det(A)$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।