मान लीजिए $\theta$ और $\phi \neq 0$ इस प्रकार हैं कि $\sec(\theta + \phi)$,$\sec \theta$,और $\sec(\theta - \phi)$ $A.P.$ में हैं। यदि $\cos \theta = k \cos(\frac{\phi}{2})$ किसी $k$ के लिए है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\theta$ के सभी संभावित मानों की संख्या,जहाँ $0 < \theta < \pi$,जिसके लिए समीकरणों की प्रणाली
$(y+z) \cos 3\theta = (xyz) \sin 3\theta$
$x \sin 3\theta = \frac{2 \cos 3\theta}{y} + \frac{2 \sin 3\theta}{z}$
$(xyz) \sin 3\theta = (y+2z) \cos 3\theta + y \sin 3\theta$
का एक हल $(x_0, y_0, z_0)$ है जहाँ $y_0 z_0 \neq 0$,वह है

$\sin ^4 \frac{\pi}{8}+\cos ^4 \frac{\pi}{8}+\sin ^4 \frac{3 \pi}{8}+\cos ^4 \frac{3 \pi}{8}+\sin ^4 \frac{5 \pi}{8}+\cos ^4 \frac{5 \pi}{8}+\sin ^4 \frac{7 \pi}{8}+\cos ^4 \frac{7 \pi}{8}=$

यदि $\sin \theta + \sin \phi = a$ और $\cos \theta + \cos \phi = b$ है,तो $\tan \frac{\theta - \phi}{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $-\frac{\pi}{4} < \beta < 0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$। यदि $\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{3}$ और $\cos (\alpha-\beta) = \frac{2}{3}$ है,तो $\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \beta} + \frac{\cos \beta}{\sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \beta} + \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}\right)^2$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

व्यंजक $\tan 9^{\circ}-\tan 27^{\circ}-\tan 63^{\circ}+\tan 81^{\circ}$ का मान ज्ञात कीजिए।