ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx}-y=2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}-y=2-e^{-x}$ છે.આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=-1$ અને $Q=2-e^{-x}$.સંકલ્યકારક અવયવ

Vedclass · Accepted Answer

$3$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}-y=2-e^{-x}$ છે.આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=-1$ અને $Q=2-e^{-x}$.સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.ઉકેલ $y \cdot e^{-x} = \int (2-e^{-x})e^{-x} dx = \int (2e^{-x}-e^{-2x}) dx$ છે.$y \cdot e^{-x} = -2e^{-x} + \frac{1}{2}e^{-2x} + C$.$y(x) = -2 + \frac{1}{2}e^{-x} + Ce^x$.કારણ કે $\lim_{x \rightarrow \infty} y(x)$ શાંત છે,તેથી $e^x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $C=0$.આમ,$y(x) = -2 + \frac{1}{2}e^{-x}$.$x=0$ આગળ,$y(0) = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.વિકલન $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}e^{-x}$ છે.$x=0$ આગળ,ઢાળ $m = \frac{dy}{dx}|_{x=0} = -\frac{1}{2}$.$(0, -3/2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (-3/2) = -\frac{1}{2}(x - 0)$ છે,જે $y + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}x$ અથવા $x + 2y = -3$ માં પરિણમે છે.$x$-અંત:ખંડ $a$ મેળવવા માટે $y=0$ મૂકતા,$a = -3$.$y$-અંત:ખંડ $b$ મેળવવા માટે $x=0$ મૂકતા,$2b = -3$,જેથી $b = -\frac{3}{2}$.અંતે,$a - 4b = -3 - 4(-\frac{3}{2}) = -3 + 6 = 3$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(y^2 - x^3) dx - xy dy = 0, (x \neq 0)$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો (જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે)

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ નો ઉકેલ હોય અને $y(1) = 1$ નું સમાધાન કરતું હોય,તો $y\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx}+y \cos x=4x, x \in(0, \pi)$ નો ઉકેલ છે. જો $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+\tan y)(dx-dy)+2x dy=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module