मान लीजिए f एक ऐसा फलन है जो सभी x, y in math | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $f(x + y) = f(x) + f(y)$,यह $\mathbb{N}$ पर कौशी का कार्यात्मक समीकरण है,जो दर्शाता है कि किसी स्थिरांक $c$ के लिए $f(n) = cn$ है।च

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(C) दिया गया है कि $f(x + y) = f(x) + f(y)$,यह $\mathbb{N}$ पर कौशी का कार्यात्मक समीकरण है,जो दर्शाता है कि किसी स्थिरांक $c$ के लिए $f(n) = cn$ है।चूंकि $f(1) = \frac{1}{5}$,इसलिए $c(1) = \frac{1}{5}$,अतः $f(n) = \frac{n}{5}$ है।अब,योग में $f(n) = \frac{n}{5}$ प्रतिस्थापित करने पर:$\sum_{n=1}^m \frac{n/5}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{5} \sum_{n=1}^m \frac{1}{(n+1)(n+2)}$.आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$.अतः,योग $\frac{1}{5} \sum_{n=1}^m \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right)$ हो जाता है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है:$\frac{1}{5} \left( (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2}) \right) = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{m+2} \right)$.चूंकि योग $\frac{1}{12}$ दिया गया है,हमारे पास $\frac{1}{5} \left( \frac{m+2-2}{2(m+2)} \right) = \frac{1}{12} \implies \frac{m}{10(m+2)} = \frac{1}{12}$ है।$12m = 10m + 20 \implies 2m = 20 \implies m = 10$.

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