मान लीजिए f: R-{0} rightarrow R एक फलन है जो | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन समीकरण $f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}$ है।$x=y=1$ रखने पर,हमें $f(1) = \frac{f(1)}{f(1)} = 1$ प्राप्त होता है।अब,दिए गए

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$xf^{\prime}(x)-2024 f(x)=0$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया फलन समीकरण $f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}$ है।$x=y=1$ रखने पर,हमें $f(1) = \frac{f(1)}{f(1)} = 1$ प्राप्त होता है।अब,दिए गए समीकरण का $x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:$f^{\prime}\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \frac{1}{y} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(y)}$.समीकरण में $y=x$ रखने पर:$f^{\prime}(1) \cdot \frac{1}{x} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$.चूँकि $f^{\prime}(1) = 2024$ है,हमें प्राप्त होता है:$2024 \cdot \frac{1}{x} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$.पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है:$x f^{\prime}(x) = 2024 f(x)$,जिसका अर्थ है कि $x f^{\prime}(x) - 2024 f(x) = 0$.

मान लीजिए $f: R-\{0\} \rightarrow R$ एक फलन है जो सभी $x, y$ के लिए $f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(y) \neq 0$ है। यदि $f^{\prime}(1)=2024$ है,तो:

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मान लीजिए $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है जो सभी $x > 0, y > 0$ के लिए समीकरण $f(xy) = f(x) + f(y)$ को संतुष्ट करता है,तो $f'(x)$ किसके बराबर है?

ऐसे कितने बाइजेक्शन (एकैकी और आच्छादक फलन) $f: Z \rightarrow Z$ हैं कि सभी $x, y \in Z$ के लिए $f(x+y)=f(x)+f(y)$ हो?

यदि $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2$ और $x=3, 4, 5, \ldots$ के लिए $f(x)=f(x-2)+f(x-3)$ है,तो $f(9)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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