$XY$-समतल बिंदुओं $A(2, 3, -5)$ और $B(-1, -2, -3)$ को मिलाने वाली रेखा को किस अनुपात में विभाजित करता है?

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं। यदि रेखा $\vec{r}=\vec{a}+2 \vec{b}+p(\vec{a}-2 \vec{c})$ और समतल $\vec{r}=3 \vec{a}-q(\vec{c}-\vec{b})+k(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r}=x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}$ है, तो $x y z=$

मान लीजिए कि रेखाएँ $L_1: \vec{r}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}+\lambda(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})$, $\lambda \in R$ और $L_2: \vec{r}=(4\hat{i}+\hat{j})+\mu(5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})$, $\mu \in R$, बिंदु $R$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। मान लीजिए $P$ और $Q$ क्रमशः रेखाओं $L_1$ और $L_2$ पर स्थित बिंदु हैं, इस प्रकार कि $|\overrightarrow{PR}|=\sqrt{29}$ और $|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{\frac{47}{3}}$ है। यदि बिंदु $P$ प्रथम अष्टांश (first octant) में स्थित है, तो $27(QR)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\pi_1$ एक समतल है जो बिंदु $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ से होकर गुजरता है और सदिश $-\hat{j}+2\hat{k}$ के लंबवत है। मान लीजिए रेखा $L$ जो बिंदुओं $3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ और $-\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$ से होकर गुजरती है, समतल $\pi_2$ का अभिलंब है। यदि समतलों $\pi_1$ और $\pi_2$ के बीच का कोण $\theta$ है, तो $\cos \theta =$

प्रथम अष्टांश $(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$ में स्थित एक पिरामिड $OPQRS$ पर विचार करें,जहाँ $O$ मूलबिंदु है,और $OP$ तथा $OR$ क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर हैं। पिरामिड का आधार $OPQR$ एक वर्ग है जिसमें $OP=3$ है। बिंदु $S$ विकर्ण $OQ$ के मध्य-बिंदु $T$ के ठीक ऊपर है,इस प्रकार कि $TS=3$ है। तब:

समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=1$ और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})+4=0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और $x$-अक्ष के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।