मान लीजिए pi_1 एक समतल है जो बिंदु hat{i}+hat | vedclass

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Question

(A) समतल $\pi_1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = 0\hat{i} - 1\hat{j} + 2\hat{k}$ है।रेखा $L$ बिंदुओं $A(3, -2, 1)$ और $B(-1, 3, 1)$ से होकर गुजरती है। रेख

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$\sqrt{\frac{5}{41}}$

Vedclass · Answer

(A) समतल $\pi_1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = 0\hat{i} - 1\hat{j} + 2\hat{k}$ है।रेखा $L$ बिंदुओं $A(3, -2, 1)$ और $B(-1, 3, 1)$ से होकर गुजरती है। रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = (-1-3)\hat{i} + (3-(-2))\hat{j} + (1-1)\hat{k} = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 0\hat{k}$ है।चूंकि रेखा $L$ समतल $\pi_2$ के लंबवत है, इसलिए समतल $\pi_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_2 = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 0\hat{k}$ है।दो समतलों के बीच का कोण $	heta$, $\cos 	heta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$ द्वारा दिया जाता है।$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (0)(-4) + (-1)(5) + (2)(0) = -5$.$|\vec{n}_1| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.$|\vec{n}_2| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.$\cos 	heta = \frac{|-5|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{205}} = \sqrt{\frac{5}{41}}$.

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रेखा $\frac{x - 1}{5} = \frac{y + 2}{6} = \frac{z - 3}{4}$ और बिंदु $(4, 3, 7)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि रेखाएँ $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{-k}$ और $\frac{x - 1}{k} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z - 5}{1}$ समतलीय हैं,तो $k$ के मान हो सकते हैं:

बिंदु $(1, -2, 4)$ की उस समतल से दूरी ज्ञात कीजिए जो बिंदु $(1, 2, 2)$ से होकर गुजरता है और समतलों $x - y + 2z = 3$ तथा $2x - 2y + z + 12 = 0$ पर लंब है।

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