समतलों x + 2y + z - 1 = 0 और 2x + y + 3z - 2 | vedclass

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Question

(C) समतलों $x + 2y + z - 1 = 0$ और $2x + y + 3z - 2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(x + 2y + z - 1) + \lambda(2x + y + 3z - 2) = 0

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$\frac{5}{2}$

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(C) समतलों $x + 2y + z - 1 = 0$ और $2x + y + 3z - 2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(x + 2y + z - 1) + \lambda(2x + y + 3z - 2) = 0$ है।इसे $(1 + 2\lambda)x + (2 + \lambda)y + (1 + 3\lambda)z - (1 + 2\lambda) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।इस समतल का अभिलंब $\vec{n_1} = (1 + 2\lambda, 2 + \lambda, 1 + 3\lambda)$ है।यह समतल $x + y + z - 1 = 0$ के लंबवत है,जिसका अभिलंब $\vec{n_2} = (1, 1, 1)$ है।अतः,$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \Rightarrow (1 + 2\lambda) + (2 + \lambda) + (1 + 3\lambda) = 0 \Rightarrow 4 + 6\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{2}{3}$.यदि यह समतल $x + ky + 3z - 1 = 0$ के लंबवत है,तो $(1, 1, 1)$ और $(1, k, 3)$ के सदिश गुणनफल का उपयोग करने पर,हमें $k = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।

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वह बिंदु जिसके निर्देशांक,जहाँ रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+5}{4}$ समतल $2x+4y-z=3$ से मिलती है,हैं

रेखा $\vec{r} = (2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}) = 5$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

बिंदुओं $(2, 1, -1)$ और $(-1, 3, 4)$ से गुजरने वाले और समतल $x - 2y + 4z = 10$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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