एक वक्र के स्पर्शरेखा का $x-$अंतःखंड स्पर्श बिंदु के कोटि (ordinate) के बराबर है। बिंदु $(1, 1)$ से गुजरने वाले वक्र का समीकरण है

एक गोलाकार गुब्बारे के आयतन के परिवर्तन की दर किसी भी क्षण उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के सीधे आनुपातिक है। यदि प्रारंभ में इसकी त्रिज्या $3 \ cm$ है,और $2 \ \text{मिनट}$ बाद इसकी त्रिज्या $9 \ cm$ हो जाती है,तो $4 \ \text{मिनट}$ बाद गुब्बारे की त्रिज्या क्या होगी ($cm$ में)?

किसी देश की जनसंख्या के बढ़ने की दर वर्तमान जनसंख्या के समानुपाती है। यदि जनसंख्या $50$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है,तो इसे स्वयं का चार गुना होने में कितना समय लगेगा ($\text{वर्ष}$ में)?

एक वक्र इस प्रकार है कि निर्देशांक अक्षों,वक्र और उस पर स्थित किसी भी बिंदु की कोटि (ordinate) द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल उस कोटि के घन के बराबर है। यह वक्र क्या दर्शाता है?

एक गोलाकार वर्षा की बूंद अपने पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती दर से वाष्पित होती है। समय $t$ के साथ इसकी त्रिज्या $r$ के परिवर्तन की दर को दर्शाने वाला अवकल समीकरण है ... (जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है)

मान लीजिए $f$ एक दो बार अवकलनीय अ-ऋणात्मक फलन है, इस प्रकार कि $(f(x))^2 = 25 + \int_{0}^{x} ((f(t))^2 + (f'(t))^2) dt$ है। तो $f(\log_e(1)), f(\log_e(2)), \ldots, f(\log_e(625))$ का माध्य ज्ञात कीजिए: