मान लीजिए f एक दो बार अवकलनीय अ-ऋणात्मक फलन ह | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $(f(x))^2 = 25 + \int_{0}^{x} ((f(t))^2 + (f'(t))^2) dt$ है। लेबनिज नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने

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$1565$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समीकरण: $(f(x))^2 = 25 + \int_{0}^{x} ((f(t))^2 + (f'(t))^2) dt$ है। लेबनिज नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $2 f(x) f'(x) = (f(x))^2 + (f'(x))^2$ प्राप्त होता है। पदों को व्यवस्थित करने पर: $(f(x))^2 - 2 f(x) f'(x) + (f'(x))^2 = 0$। यह सरल होकर $(f(x) - f'(x))^2 = 0$ हो जाता है, जिसका अर्थ है $f'(x) = f(x)$। इस अवकल समीकरण को हल करने पर: $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1 \Rightarrow \ln(f(x)) = x + C \Rightarrow f(x) = A e^x$। $x = 0$ पर, $(f(0))^2 = 25 + 0 \Rightarrow f(0) = 5$ (चूंकि $f$ अ-ऋणात्मक है)। अतः, $A e^0 = 5 \Rightarrow A = 5$, इसलिए $f(x) = 5 e^x$। हमें $f(\ln 1), f(\ln 2), \ldots, f(\ln 625)$ का माध्य ज्ञात करना है। चूंकि $f(\ln n) = 5 e^{\ln n} = 5n$, माध्य होगा: $	ext{माध्य} = \frac{1}{625} \sum_{n=1}^{625} 5n = \frac{5}{625} 	imes \frac{625 	imes 626}{2} = \frac{5 	imes 626}{2} = 5 	imes 313 = 1565$।

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