બે સમતલો $r \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=5$ અને $r \cdot(3 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k})=3$ ની છેદરેખા અને રેખા $r=3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}+t(5 \hat{i}+5 \hat{j}-7 \hat{k})$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ધારો કે $\gamma \in R$ એવું છે કે રેખાઓ $L_1: \frac{x+11}{1}=\frac{y+21}{2}=\frac{z+29}{3}$ અને $L_2: \frac{x+16}{3}=\frac{y+11}{2}=\frac{z+4}{\gamma}$ એકબીજાને છેદે છે. ધારો કે $R_1$ એ $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ છે. ધારો કે $O=(0,0,0)$,અને $\hat{n}$ એ $L_1$ અને $L_2$ બંનેને સમાવતા સમતલનો એકમ લંબ સદિશ છે. $List-I$ ની દરેક એન્ટ્રીને $List-II$ ની સાચી એન્ટ્રી સાથે જોડો.

$List-I$	$List-II$
$(P) \gamma$ બરાબર	$(1) -\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$
$(Q) \hat{n}$ માટે એક શક્ય પસંદગી	$(2) \sqrt{\frac{3}{2}}$
$(R) \vec{OR_1}$ બરાબર	$(3) 1$
$(S) \vec{OR_1} \cdot \hat{n}$ નું એક શક્ય મૂલ્ય	$(4) \frac{1}{\sqrt{6}} \hat{i}-\frac{2}{\sqrt{6}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{6}} \hat{k}$
	$(5) \sqrt{\frac{2}{3}}$

ધારો કે સમતલ $P: 4x - y + z = 10$ ને સમતલ $x + y - z = 4$ સાથેની તેની છેદરેખાની આસપાસ $\frac{\pi}{2}$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે. જો $\alpha$ એ બિંદુ $(2, 3, -4)$ નું સમતલ $P$ ની નવી સ્થિતિથી અંતર હોય,તો $35\alpha$ ની કિંમત શોધો.

જો બિંદુ $P(1, -2, 3)$ નું સમતલ $2x + 3y - 4z + 22 = 0$ માં રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ ને સમાંતર માપેલું પ્રતિબિંબ $Q$ હોય,તો $PQ$ ની કિંમત શોધો:

બિંદુ $(1, 1, 9)$ નું રેખા $\frac{x-3}{1} = \frac{y-4}{2} = \frac{z-5}{2}$ અને સમતલ $x+y+z=17$ ના છેદબિંદુથી અંતર કેટલું છે?

$(1, 1, 1)$ અને $(2, 2, 2)$ ને જોડતી રેખા $x + y + z = 9$ સમતલને જે બિંદુએ છેદે છે તેના યામ શોધો.