$(\sin ^2 \alpha) y^2 - 2xy(\cos ^2 \alpha) + (\cos ^2 \alpha - 1) x^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच का कोण क्या है?

यदि समीकरण ${x^2} - 3xy + \lambda {y^2} + 3x - 5y + 2 = 0$ द्वारा निरूपित सरल रेखाओं के युग्म के बीच का कोण ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{3}} \right)$ है,जहाँ $\lambda$ एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

समीकरण ${x^2} - xy - 6{y^2} - 7x + 31y - 18 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच का कोण .....$^o$ है।

रेखाओं के युग्म $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 3x + 3y + 1 = 0$ के बीच का कोण है

सरल रेखाओं के युग्म $y^2 \sin^2 \theta - xy \sin^2 \theta + x^2(\cos^2 \theta - 1) = 0$ के बीच का कोण है

रेखाओं का युग्म $l x^2 + 2(l+m) x y + m y^2 = 0$ एक वृत्त के दो व्यासों पर स्थित है और वृत्त को $4$ त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है। यदि बड़े त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल छोटे त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का $5$ गुना है,तो $\frac{l m}{(l+m)^2} = $