પ્રથમ ચરણમાં આવેલ અને X-અક્ષ,રેખા x-sqrt{3} y | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે. રેખાનું સમીકરણ $x - \sqrt{3}y = 0$ એટલે કે $x = \sqrt{3}y$ છે.

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{3}$

Vedclass · Answer

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે. રેખાનું સમીકરણ $x - \sqrt{3}y = 0$ એટલે કે $x = \sqrt{3}y$ છે. પ્રથમ ચરણમાં છેદબિંદુ શોધવા માટે,$x = \sqrt{3}y$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(\sqrt{3}y)^2 + y^2 = 4 \implies 3y^2 + y^2 = 4 \implies 4y^2 = 4 \implies y^2 = 1$. પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$y = 1$ મળે. તેથી $x = \sqrt{3}(1) = \sqrt{3}$. છેદબિંદુ $(\sqrt{3}, 1)$ છે. પ્રથમ ચરણમાં $X$-અક્ષ,રેખા અને વર્તુળ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ: ક્ષેત્રફળ $= \int_0^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{3}} dx + \int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{4 - x^2} dx$. પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $\frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{\sqrt{3}}^2 \sqrt{2^2 - x^2} dx = \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \right]_{\sqrt{3}}^2$. $= \left( \frac{2}{2} \sqrt{4 - 4} + 2 \sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4 - 3} + 2 \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right)$. $= (0 + 2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\pi}{3}) = \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$. બંને ભાગનો સરવાળો કરતા: $\frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$ ચોરસ એકમ.

પ્રથમ ચરણમાં આવેલ અને $X$-અક્ષ,રેખા $x-\sqrt{3} y=0$ તથા વર્તુળ $x^2+y^2=4$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

Similar Questions

$1000$ થી નાની એવી કેટલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે,જેમાં કોઈ પણ બે અંકનું પુનરાવર્તન થતું નથી?

બીજાવરણને યાંત્રિક રીતે દૂર કરીને બીજની સુષુપ્તતા દૂર કરવાની પ્રક્રિયાને શું કહે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module