प्रथम चतुर्थांश में x^2+3y^2=18 दीर्घवृत्त द् | vedclass

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Question

(B) दिया गया दीर्घवृत्त $x^2+3y^2=18$ है,जिसे $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{6}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।दीर्घवृत्त और रेखा $y=x$ के प्रतिच्छेदन बिंद

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$\sqrt{3}\pi$

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(B) दिया गया दीर्घवृत्त $x^2+3y^2=18$ है,जिसे $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{6}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।दीर्घवृत्त और रेखा $y=x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$y=x$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर:$x^2+3x^2=18 \Rightarrow 4x^2=18 \Rightarrow x^2=\frac{9}{2} \Rightarrow x=\frac{3}{\sqrt{2}}$.क्षेत्र $x$-अक्ष,रेखा $y=x$ और दीर्घवृत्त द्वारा घिरा हुआ है। क्षेत्रफल $x=0$ से $x=\frac{3}{\sqrt{2}}$ तक के त्रिभुज का क्षेत्रफल और $x=\frac{3}{\sqrt{2}}$ से $x=3\sqrt{2}$ तक दीर्घवृत्त के नीचे के क्षेत्रफल का योग है।त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊंचाई} = \frac{1}{2} 	imes \frac{3}{\sqrt{2}} 	imes \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{9}{4}$.दीर्घवृत्त के नीचे का क्षेत्रफल = $\int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3\sqrt{2}} \sqrt{\frac{18-x^2}{3}} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3\sqrt{2}} \sqrt{18-x^2} dx$.सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:$= \frac{1}{\sqrt{3}} [\frac{x}{2}\sqrt{18-x^2} + 9\sin^{-1}(\frac{x}{3\sqrt{2}})]_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3\sqrt{2}}$$= \frac{1}{\sqrt{3}} [\frac{9\pi}{2} - (\frac{3}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{27}{2}} + 9\cdot\frac{\pi}{4})] = \frac{3\sqrt{3}\pi}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4}$.कुल क्षेत्रफल = $\frac{9}{4} + \frac{3\sqrt{3}\pi}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

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