परवलय y^{2}=2x और रेखा x+y=4 के बीच घिरे क्षे | vedclass

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Question

(B) दिए गए समीकरण $y^{2}=2x$ और $x+y=4$ हैं। रेखा के समीकरण से,$x=4-y$। इसे परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $y^{2}=2(4-y) \implies y^{2}=8-2

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$18$

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(B) दिए गए समीकरण $y^{2}=2x$ और $x+y=4$ हैं। रेखा के समीकरण से,$x=4-y$। इसे परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $y^{2}=2(4-y) \implies y^{2}=8-2y \implies y^{2}+2y-8=0$। द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y+4)(y-2)=0$,अतः $y=-4$ और $y=2$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(8, -4)$ और $(2, 2)$ हैं। क्षेत्रफल $A = \int_{-4}^{2} [(4-y) - \frac{y^{2}}{2}] dy$ द्वारा प्राप्त होता है। पद-दर-पद समाकलन करने पर: $\left[ 4y - \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{3}}{6} \right]_{-4}^{2}$। सीमाओं पर मान रखने पर: $\left( 4(2) - \frac{2^{2}}{2} - \frac{2^{3}}{6} \right) - \left( 4(-4) - \frac{(-4)^{2}}{2} - \frac{(-4)^{3}}{6} \right)$। $= (8 - 2 - \frac{4}{3}) - (-16 - 8 + \frac{32}{3}) = (6 - \frac{4}{3}) - (-24 + \frac{32}{3}) = \frac{14}{3} - (\frac{-72+32}{3}) = \frac{14}{3} + \frac{40}{3} = \frac{54}{3} = 18$ वर्ग इकाई।

परवलय $y^{2}=2x$ और रेखा $x+y=4$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

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