वक्र y^2 = 4ax,x-अक्ष और कोटियों x = 0 तथा x | vedclass

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Question

(B) दिया गया वक्र $y^2 = 4ax$ है,जो $x$-अक्ष के परितः सममित एक परवलय है।वक्र,$x$-अक्ष और कोटियों $x = 0$ तथा $x = a$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कर

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$\frac{8}{3}a^2$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया वक्र $y^2 = 4ax$ है,जो $x$-अक्ष के परितः सममित एक परवलय है।वक्र,$x$-अक्ष और कोटियों $x = 0$ तथा $x = a$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $y = \sqrt{4ax} = 2\sqrt{a}\sqrt{x}$ का $x$ के सापेक्ष $0$ से $a$ तक समाकलन करते हैं।क्षेत्रफल $= \int_0^a y \, dx = \int_0^a 2\sqrt{a}\sqrt{x} \, dx$$= 2\sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} \, dx$$= 2\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} ight]_0^a$$= 2\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} \left[ x^{3/2} ight]_0^a$$= \frac{4\sqrt{a}}{3} (a^{3/2} - 0)$$= \frac{4\sqrt{a}}{3} \cdot a\sqrt{a}$$= \frac{4}{3} a^2$नोट: प्रश्न में वक्र,$x$-अक्ष और कोटियों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल पूछा गया है। यह केवल प्रथम चतुर्थांश में स्थित क्षेत्रफल को दर्शाता है। यदि वक्र और कोटियों के बीच का कुल क्षेत्रफल ($x$-अक्ष के ऊपर और नीचे दोनों) आवश्यक हो,तो यह $2 	imes \frac{4}{3}a^2 = \frac{8}{3}a^2$ होगा। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $\frac{8}{3}a^2$ है।

वक्र $y^2 = 4ax$,$x$-अक्ष और कोटियों $x = 0$ तथा $x = a$ के बीच का क्षेत्रफल है

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