વક્રો y=ax^2 અને x=ay^2 (a 0) વચ્ચે ઘેરાયેલ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) બે વક્રો $y=ax^2$ અને $x=ay^2$ એ $O(0,0)$ અને $P\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{a}\right)$ બિંદુએ છેદે છે.આ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(A) બે વક્રો $y=ax^2$ અને $x=ay^2$ એ $O(0,0)$ અને $P\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{a}\right)$ બિંદુએ છેદે છે.આ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે ઉપરના વક્ર $y=\sqrt{\frac{x}{a}}$ અને નીચેના વક્ર $y=ax^2$ વચ્ચેના તફાવતનું $x=0$ થી $x=\frac{1}{a}$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ.આપેલ ક્ષેત્રફળ $= \int_0^{\frac{1}{a}} \left(\sqrt{\frac{x}{a}} - ax^2\right) dx = 1$$\Rightarrow \left[\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{ax^3}{3}\right]_0^{\frac{1}{a}} = 1$$\Rightarrow \left[\frac{2}{3\sqrt{a}} x^{3/2} - \frac{ax^3}{3}\right]_0^{\frac{1}{a}} = 1$સીમાઓ મૂકતા:$\Rightarrow \left(\frac{2}{3\sqrt{a}} \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^{3/2} - \frac{a}{3} \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^3\right) = 1$$\Rightarrow \frac{2}{3\sqrt{a} \cdot a\sqrt{a}} - \frac{a}{3a^3} = 1$$\Rightarrow \frac{2}{3a^2} - \frac{1}{3a^2} = 1$$\Rightarrow \frac{1}{3a^2} = 1$$\Rightarrow a^2 = \frac{1}{3}$કારણ કે $a > 0$,તેથી $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

વક્રો $y=ax^2$ અને $x=ay^2$ $(a > 0)$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $1$ ચોરસ એકમ છે,તો $a$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વર્તુળ $x^2+y^2=4$ અને રેખા $x=1$ વચ્ચેના નાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ . . . . . . ચોરસ એકમ છે.

$x-$ અક્ષ,રેખા $y=x,$ અને વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=32$ દ્વારા પ્રથમ ચરણમાં ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો. ($\pi$ માં)

$y = \ln x$,$y = \ln |x|$,$y = |\ln x|$ અને $y = |\ln |x||$ વક્ર દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ ......... $sq. \,unit$ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module