$12 \, cm$ અને $16 \, cm$ વિકર્ણો ધરાવતા સમબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતી આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ ($cm^2$ માં) કેટલું થાય?

$O$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણ $PR$ પરનું કોઈ પણ બિંદુ છે. સાબિત કરો કે $\operatorname{ar}(\triangle PSO) = \operatorname{ar}(\triangle PQO)$.

નીચેના દરેક વિધાનો સાચા છે કે ખોટા તે જણાવો:
$(1)$ જો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માટે $ar(ABC) = 96 \, cm^2$ હોય,તો $ar(ABCD) = 192 \, cm^2$ થાય.
$(2)$ કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓનો ગુણાકાર.

$\triangle ABC$ માં,જો $L$ અને $M$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $AC$ પરના બિંદુઓ છે,જેથી $LM \parallel BC$ થાય. સાબિત કરો કે $\operatorname{ar}(\triangle LOB) = \operatorname{ar}(\triangle MOC).$

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે. બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $BO$ પર આવેલું છે. સાબિત કરો કે,$ar(ABP) = ar(CBP)$.

$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $BC$ ને બિંદુ $Q$ સુધી એવી રીતે લંબાવવામાં આવે છે કે જેથી $AD = CQ$ થાય. જો $AQ$ એ $DC$ ને $P$ માં છેદતું હોય,તો સાબિત કરો કે $\operatorname{ar}(BPC) = \operatorname{ar}(DPQ)$.