સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે. બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $BO$ પર આવેલું છે. સાબિત કરો કે,$ar(ABP) = ar(CBP)$.

(A) $1$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. તેથી,$O$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે,જેનો અર્થ છે કે $BO = OD$.
$2$. $\triangle ABD$ અને $\triangle CBD$ નો વિચાર કરો. $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AB = CD$ અને $AD = BC$ છે. વળી,$BD$ સામાન્ય વિકર્ણ છે.
$3$. $\triangle ABD$ માં,શિરોબિંદુ $A$ માંથી $BD$ પરની મધ્યગા $AO$ છે. $O$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AO$ એ $\triangle ABD$ ને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે: $ar(ABO) = ar(ADO)$.
$4$. તેવી જ રીતે,$\triangle CBD$ માં,$CO$ એ $BD$ પરની મધ્યગા છે,તેથી $ar(CBO) = ar(CDO)$.
$5$. જોકે,પ્રશ્નમાં $ar(ABP) = ar(CBP)$ સાબિત કરવાનું કહ્યું છે. ત્રિકોણ $\triangle ABP$ અને $\triangle CBP$ નો વિચાર કરીએ. આ ત્રિકોણો રેખા $BD$ પર સમાન પાયો $BP$ ધરાવે છે.
$6$. પાયા $BP$ ના સંદર્ભમાં $\triangle ABP$ ની ઊંચાઈ એ $A$ થી $BD$ સુધીનું લંબ અંતર છે,ધારો કે તે $h_1$ છે. પાયા $BP$ ના સંદર્ભમાં $\triangle CBP$ ની ઊંચાઈ એ $C$ થી $BD$ સુધીનું લંબ અંતર છે,ધારો કે તે $h_2$ છે.
$7$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના શિરોબિંદુઓથી વિકર્ણ સુધીનું અંતર સમાન હોય છે. તેથી,$h_1 = h_2$.
$8$. $ar(ABP) = \frac{1}{2} \times BP \times h_1$ અને $ar(CBP) = \frac{1}{2} \times BP \times h_2$ હોવાથી,અને $h_1 = h_2$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $ar(ABP) = ar(CBP)$.