પરવલયો $y^{2}=2x-1$ અને $y^{2}=4x-3$ વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ધારો કે $AB$ એ $XY$-સમતલમાં પરવલય $y^2 = 4ax$ નું નાભિલંબ છે. ધારો કે $T$ એ પરવલયના શાંત ચાપ $AB$ અને રેખાખંડ $AB$ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ છે. $T$ માં મહત્તમ શક્ય ક્ષેત્રફળ ધરાવતો લંબચોરસ $PQRS$ અંતર્ગત છે,જેમાં $P, Q$ એ રેખા $AB$ પર છે અને $R, S$ એ ચાપ $AB$ પર છે. તો,$\frac{\text{area}(PQRS)}{\text{area}(T)}$ ની કિંમત શોધો.

વક્રો $y=|x|$,$y=[x]$ અને યામો $x=-1$,$x=0$,$x=1$ વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

ધારો કે $S = \{(x, y) \in R \times R : x \geq 0, y \geq 0, y^2 \leq 4x, y^2 \leq 12 - 2x \text{ અને } 3y + \sqrt{8}x \leq 5\sqrt{8}\}$. જો પ્રદેશ $S$ નું ક્ષેત્રફળ $\alpha \sqrt{2}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

નીચેની આકૃતિ અંતરાલ $[1,3]$ પર સતત વિધેય $y=f(x)$ નો આલેખ દર્શાવે છે. બિંદુઓ $A, B, C$ ના યામ અનુક્રમે $(1,1), (3,2), (2,3)$ છે,અને રેખાઓ $l_1$ અને $l_2$ સમાંતર છે,જેમાં $l_1$ એ વક્રને $C$ બિંદુએ સ્પર્શક છે. જો $x=1$ થી $x=3$ સુધી $y=f(x)$ ના આલેખ નીચેનું ક્ષેત્રફળ $4$ ચોરસ એકમ હોય,તો છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

જો પ્રદેશ $\{(x, y): 0 \leq y \leq \min \{2x, 6x-x^2\}\}$ નું ક્ષેત્રફળ $A$ હોય,તો $12A$ ની કિંમત શોધો.