(1 + x + x^2 + x^3)^n के विस्तार में x^4 का ग | vedclass

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Question

(D) हमारे पास $(1 + x + x^2 + x^3)^n = ((1 + x)(1 + x^2))^n = (1 + x)^n (1 + x^2)^n$ है। द्विपद प्रमेय का उपयोग करके दोनों भागों का विस्तार करने पर: $

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$^nC_4 + ^nC_2 + ^nC_1 \cdot ^nC_2$

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(D) हमारे पास $(1 + x + x^2 + x^3)^n = ((1 + x)(1 + x^2))^n = (1 + x)^n (1 + x^2)^n$ है। द्विपद प्रमेय का उपयोग करके दोनों भागों का विस्तार करने पर: $(1 + x)^n = 1 + ^nC_1 x + ^nC_2 x^2 + ^nC_3 x^3 + ^nC_4 x^4 + \dots$ $(1 + x^2)^n = 1 + ^nC_1 x^2 + ^nC_2 x^4 + \dots$ $x^4$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम दोनों विस्तारों से उन पदों को गुणा करते हैं जिनका घातों का योग $4$ हो: $1 \cdot (^nC_2 x^4) + (^nC_2 x^2) \cdot (^nC_1 x^2) + (^nC_4 x^4) \cdot 1$ $= ^nC_2 x^4 + ^nC_1 \cdot ^nC_2 x^4 + ^nC_4 x^4$ $= (^nC_4 + ^nC_2 + ^nC_1 \cdot ^nC_2) x^4$। अतः,गुणांक $^nC_4 + ^nC_2 + ^nC_1 \cdot ^nC_2$ है।

$(1 + x + x^2 + x^3)^n$ के विस्तार में $x^4$ का गुणांक क्या है?

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$^nC_1 \sum_{r=0}^1 {^1C_r} + ^nC_2 \left( \sum_{r=0}^2 {^2C_r} \right) + ^nC_3 \left( \sum_{r=0}^3 {^3C_r} \right) + \dots + ^nC_n \left( \sum_{r=0}^n {^nC_r} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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