(1+x)+2(1+x)^2+3(1+x)^3+ . . . +100(1+x)^{100 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $S = \sum_{k=1}^{100} k(1+x)^k$. આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી $(AGP)$ છે.ધારો કે $r = (1+x)$. તો $S = r + 2r^2 + 3r^3 + . . . + 100r^{100

Vedclass · Accepted Answer

$100 \cdot ^{101}C_{49} - ^{101}C_{50}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $S = \sum_{k=1}^{100} k(1+x)^k$. આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી $(AGP)$ છે.ધારો કે $r = (1+x)$. તો $S = r + 2r^2 + 3r^3 + . . . + 100r^{100}$.$r$ વડે ગુણતા: $rS = r^2 + 2r^3 + . . . + 99r^{100} + 100r^{101}$.બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S(1-r) = r + r^2 + r^3 + . . . + r^{100} - 100r^{101}$.$S(-x) = \frac{r(r^{100}-1)}{r-1} - 100r^{101} = \frac{(1+x)((1+x)^{100}-1)}{x} - 100(1+x)^{101}$.$S = 100(1+x)^{101} - \frac{(1+x)^{101}-(1+x)}{x^2}$.આપણને $S$ માં $x^{48}$ નો સહગુણક જોઈએ છે.$S = 100(1+x)^{101} - \frac{(1+x)^{101}}{x^2} + \frac{1+x}{x^2}$.$x^{48}$ પદ $100(1+x)^{101}$ (સહગુણક $100 \cdot ^{101}C_{48}$) અને $-\frac{(1+x)^{101}}{x^2}$ (સહગુણક $-^{101}C_{50}$) માંથી મળે છે.આમ, સહગુણક $100 \cdot ^{101}C_{48} - ^{101}C_{50}$ છે.

$(1+x)+2(1+x)^2+3(1+x)^3+ . . . +100(1+x)^{100}$ માં $x^{48}$ નો સહગુણક કેટલો થાય?

Similar Questions

પદાવલિ $\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{2}\right)^{5}$ નું વિસ્તરણ કરો.

પદાવલિ $\left(x+\frac{1}{x}\right)^{6}$ નું વિસ્તરણ કરો.

સાબિત કરો કે $\sum\limits_{r = 0}^n {3^r \,^nC_r} = 4^n$.

$(1+x)^{1000} + x(1+x)^{999} + x^2(1+x)^{998} + \ldots + x^{1000}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{50}$ નો સહગુણક શોધો.

$(1+x+x^2)^n$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module