sum_{r=1}^{11} {(x+r)(x+r+1)(x+r+2)...(x+r+9) | vedclass

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Question

(D) माना $P_r(x) = (x+r)(x+r+1)...(x+r+9)$। यह $10$ घात का एक बहुपद है। $P_r(x)$ में $x^9$ का गुणांक प्रत्येक गुणनखंड के अचर पदों का योग है,जो $r + (r

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$1155$

Vedclass · Answer

(D) माना $P_r(x) = (x+r)(x+r+1)...(x+r+9)$। यह $10$ घात का एक बहुपद है। $P_r(x)$ में $x^9$ का गुणांक प्रत्येक गुणनखंड के अचर पदों का योग है,जो $r + (r+1) + (r+2) + ... + (r+9)$ है। यह योग $10$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है: $S_r = \frac{10}{2} [2r + (10-1)1] = 5(2r + 9) = 10r + 45$। कुल योग $\sum_{r=1}^{11} P_r(x)$ में $x^9$ का गुणांक $\sum_{r=1}^{11} (10r + 45)$ है। $= 10 \sum_{r=1}^{11} r + \sum_{r=1}^{11} 45 = 10 	imes \frac{11 	imes 12}{2} + 45 	imes 11$। $= 10 	imes 66 + 495 = 660 + 495 = 1155$।

$\sum_{r=1}^{11} {(x+r)(x+r+1)(x+r+2)...(x+r+9)}$ द्वारा दिए गए बहुपद में $x^9$ का गुणांक क्या है?

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