$r$ त्रिज्या वाली $n^{th}$ बोहर कक्षा में गति कर रहे इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य क्या है?

$m$ द्रव्यमान का एक कण केंद्रीय बल $F(r) = -kr$ के प्रभाव में एक वृत्तातीय कक्षा में गति कर रहा है,जो स्थितिज ऊर्जा $V(r) = \frac{1}{2}kr^2$ के अनुरूप है,जहाँ $k$ एक धनात्मक बल नियतांक है और $r$ मूल बिंदु से त्रिज्यीय दूरी है। बोहर के क्वांटमीकरण नियम के अनुसार,कण का कोणीय संवेग $L = n\hbar$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hbar = \frac{h}{2\pi}$,$h$ प्लांक नियतांक है,और $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है। यदि $v$ और $E$ क्रमशः कण की चाल और कुल ऊर्जा हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से व्यंजक सही है/हैं?
$(A)$ $r^2 = n\hbar \sqrt{\frac{1}{mk}}$
$(B)$ $v^2 = n\hbar \sqrt{\frac{k}{m^3}}$
$(C)$ $\frac{L}{mr^2} = \sqrt{\frac{k}{m}}$
$(D)$ $E = \frac{n\hbar}{2} \sqrt{\frac{k}{m}}$

मान लीजिए कि एक इलेक्ट्रॉन हाइड्रोजन परमाणु की उत्तेजित अवस्था में $\sqrt{25.6} \times 10^5 \text{ m s}^{-1}$ के वेग से घूम रहा है। कक्षा की त्रिज्या $x \times 10^{-9} \text{ m}$ है। $x$ का मान क्या है? [इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $9 \times 10^{-31} \text{ kg}$, इलेक्ट्रॉन का आवेश = $-1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ और $\frac{1}{4\pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$ लें]

अपनी मूल अवस्था (ground state) में एक हाइड्रोजन परमाणु $10.2 \; eV$ ऊर्जा अवशोषित करता है। हाइड्रोजन परमाणु के इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग ............... $\times 10^{-34} \; J \cdot s$ के मान से बढ़ जाएगा। (दिया है,प्लांक नियतांक $h = 6.6 \times 10^{-34} \; J \cdot s$)

बोहर के हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $-3.4 \ eV$ है। इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग क्या है?

एक निश्चित परमाणु के ऊर्जा स्तर $A, B, C$ ऊर्जा के बढ़ते मानों के अनुरूप हैं,अर्थात $E_A < E_B < E_C$। यदि $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ क्रमशः $C$ से $B$,$B$ से $A$ और $C$ से $A$ संक्रमणों के अनुरूप विकिरणों की तरंगदैर्घ्य हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?