F(x) = int_{x^2}^{x^3} frac{1}{log t} , dt,(x | vedclass

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Question

(D) हम यहाँ लेबनिज समाकलन नियम का उपयोग करेंगे: $\frac{d}{dx} \int_{g(x)}^{h(x)} f(t) \, dt = f(h(x)) \cdot h'(x) - f(g(x)) \cdot g'(x)$.दिया गया है $

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$(\log x)^{-1} \cdot x(x - 1)$

Vedclass · Answer

(D) हम यहाँ लेबनिज समाकलन नियम का उपयोग करेंगे: $\frac{d}{dx} \int_{g(x)}^{h(x)} f(t) \, dt = f(h(x)) \cdot h'(x) - f(g(x)) \cdot g'(x)$.दिया गया है $F(x) = \int_{x^2}^{x^3} \frac{1}{\log t} \, dt$,जहाँ $f(t) = \frac{1}{\log t}$,$h(x) = x^3$,और $g(x) = x^2$ है।अतः $h'(x) = 3x^2$ और $g'(x) = 2x$ होगा।नियम लागू करने पर:$F'(x) = \frac{1}{\log(x^3)} \cdot (3x^2) - \frac{1}{\log(x^2)} \cdot (2x)$चूँकि $\log(x^n) = n \log x$ होता है:$F'(x) = \frac{3x^2}{3 \log x} - \frac{2x}{2 \log x}$$F'(x) = \frac{x^2}{\log x} - \frac{x}{\log x} = \frac{x^2 - x}{\log x} = \frac{x(x - 1)}{\log x} = x(x - 1)(\log x)^{-1}$.

$F(x) = \int_{x^2}^{x^3} \frac{1}{\log t} \, dt$,$(x > 0)$ का अवकलज क्या है?

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यदि $f(x) = \int_{0}^{x} t \sin t \,dt$ है,तो $f^{\prime}(x)$ है

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना कि $f : (-1, 1) \to R$ एक सतत फलन है। यदि $\int\limits_0^{\sin x} {f(t)dt} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ है,तो $f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi / 2} \sin ^8 x \cos ^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_{\sin x}^1 {{t^2}f(t)\;dt = 1 - \sin x} $,$x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ है,तो $f\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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