3 कोटि के विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric m | vedclass

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Question

(A) माना $A$ कोटि $n$ का एक विषम-सममित आव्यूह है। परिभाषा के अनुसार,$A^T = -A$ होता है। दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $|A^T| = |-A|$ प्राप्त होत

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(A) माना $A$ कोटि $n$ का एक विषम-सममित आव्यूह है। परिभाषा के अनुसार,$A^T = -A$ होता है। दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $|A^T| = |-A|$ प्राप्त होता है। चूंकि $|A^T| = |A|$ और $|-A| = (-1)^n |A|$,इसलिए $|A| = (-1)^n |A|$। विषम कोटि के आव्यूह के लिए,$n = 3$,अतः $|A| = (-1)^3 |A| = -|A|$। इसका अर्थ है कि $2|A| = 0$,जिसका तात्पर्य है कि $|A| = 0$। अतः,विषम कोटि के विषम-सममित आव्यूह का सारणिक हमेशा $0$ होता है। इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

$3$ कोटि के विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) का सारणिक हमेशा होता है:

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सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}x+4 & 2x & 2x \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4\end{array}\right|=(5x+4)(4-x)^{2}$

मान लीजिए $D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ और $D' = \begin{vmatrix} a_1 + pb_1 & b_1 + qc_1 & c_1 + ra_1 \\ a_2 + pb_2 & b_2 + qc_2 & c_2 + ra_2 \\ a_3 + pb_3 & b_3 + qc_3 & c_3 + ra_3 \end{vmatrix}$,तो

यदि $\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3\end{array}\right|=0$ और $x \neq y \neq z$ है, तो $1+x y z$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\left| \begin{array}{ccc} -2a & a+b & a+c \\ b+a & -2b & b+c \\ c+a & b+c & -2c \end{array} \right| = \alpha (a+b)(b+c)(c+a) \neq 0$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\left| {\begin{array}{ccc} a - b - c & 2a & 2a \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{array}} \right| = $

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