एक चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण परस्पर बिंदु $O$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$ है। दर्शाइए कि $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है।
(N/A) दिए गए प्रश्न के लिए निम्नलिखित आकृति पर विचार करें।
एक रेखा $OE \parallel AB$ खींचिए ताकि $E, AD$ पर स्थित हो।
$\triangle ABD$ में,चूँकि $OE \parallel AB$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AE}{ED} = \frac{BO}{OD}$ $...(1)$
हालाँकि,यह दिया गया है कि:
$\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO}$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{CO}$
$\triangle ADC$ में,चूँकि $\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{OC}$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम द्वारा,हमारे पास है:
$EO \parallel DC$
चूँकि हमने $OE \parallel AB$ की रचना की थी और हमने सिद्ध किया कि $EO \parallel DC$,तो इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि:
$AB \parallel DC$
अतः,$ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है क्योंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर है।
एक रेखा $OE \parallel AB$ खींचिए ताकि $E, AD$ पर स्थित हो।
$\triangle ABD$ में,चूँकि $OE \parallel AB$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AE}{ED} = \frac{BO}{OD}$ $...(1)$
हालाँकि,यह दिया गया है कि:
$\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO}$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{CO}$
$\triangle ADC$ में,चूँकि $\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{OC}$ है,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम द्वारा,हमारे पास है:
$EO \parallel DC$
चूँकि हमने $OE \parallel AB$ की रचना की थी और हमने सिद्ध किया कि $EO \parallel DC$,तो इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि:
$AB \parallel DC$
अतः,$ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है क्योंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर है।
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