संख्या $2009! + 3^{7886}$ के इकाई के स्थान पर अंक है

क्रमित युग्मों $(m, n)$ की संख्या,जहाँ $m, n \in \{1, 2, 3, \ldots, 50\}$,इस प्रकार है कि $6^m + 9^n$,$5$ का एक गुणज है,ज्ञात कीजिए।

समूह $A$ में $4$ पुरुष और $5$ महिलाएँ हैं,और समूह $B$ में $5$ पुरुष और $4$ महिलाएँ हैं। यदि प्रत्येक समूह से $4$ व्यक्तियों का चयन किया जाता है,तो $4$ पुरुषों और $4$ महिलाओं के चयन के तरीकों की संख्या क्या है?

पूर्णांक $n$ और $r$ के लिए,मान लीजिए $\binom{n}{r} = \begin{cases} ^{n}C_{r}, & \text{यदि } n \geq r \geq 0 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$. $k$ का अधिकतम मान जिसके लिए योग $\sum_{i=0}^{k}\binom{10}{i}\binom{15}{k-i} + \sum_{i=0}^{k+1}\binom{12}{i}\binom{13}{k+1-i}$ मौजूद है,वह ...... के बराबर है।

एक परीक्षा में,तीन विषयों में से प्रत्येक के लिए अधिकतम अंक $n$ हैं और चौथे विषय के लिए $2n$ हैं। उन तरीकों की संख्या जिनमें एक उम्मीदवार $3n$ अंक प्राप्त कर सकता है,है

$5$-अंकीय ऐसी कितनी प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिनके अंकों का गुणनफल $36$ है?