क्रमित युग्मों $(m, n)$ की संख्या,जहाँ $m, n \in \{1, 2, 3, \ldots, 50\}$,इस प्रकार है कि $6^m + 9^n$,$5$ का एक गुणज है,ज्ञात कीजिए।

चार अंकों की ऐसी कितनी प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिनमें ठीक दो भिन्न अंक हैं?

यदि $P(n, r) = 1680$ और $C(n, r) = 70$ है,तो $69n + r! = \dots$.

$A, B, C, D, E$ अक्षरों का उपयोग करके सभी पांच अक्षरों वाले शब्द बनाए जाते हैं और उन्हें अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार क्रमबद्ध किया जाता है। मान लीजिए कि $n$ वें क्रम पर स्थित शब्द $W_{n}$ है। यदि शब्द $W_{n}$ को चुनने की प्रायिकता $P(W_{n}) = 2P(W_{n-1}), n > 1$ का पालन करती है। यदि $P(CDBEA) = \frac{2^{\alpha}}{2^{\beta}-1}, \alpha, \beta \in N$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक पूर्णांक $n$ और उसके घन $n^3$ के बीच का अंतर हमेशा निम्नलिखित में से किससे विभाज्य होता है?

$5$ अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जो $5$ से विभाज्य नहीं हैं और जिनमें अलग-अलग विषम अंकों का उपयोग किया गया है?