એક અતિવલય (hyperbola) ના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $16$ છે અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) $\sqrt{2}$ છે. તેનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $A(2 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ અને $B(2 \sec \phi, 3 \tan \phi)$ જ્યાં $\theta+\phi=\frac{\pi}{2}$,એ અતિવલય $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ પરના બે બિંદુઓ છે. જો $(\alpha, \beta)$ એ $A$ અને $B$ આગળ અતિવલયના અભિલંબનું છેદબિંદુ હોય,તો $\beta$ ની કિંમત શોધો.

જો અતિવલયની અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $2 \sin \theta$ હોય અને તે ઉપવલય $3x^2 + 4y^2 = 12$ સાથે સમનાભિ હોય,તો તેનું સમીકરણ શોધો:

સમીકરણ $\frac{1}{r} = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} \cos \theta$ શું દર્શાવે છે?

અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ ના નાભિલંબના એક અંત્યબિંદુ (પ્રથમ ચરણમાં) આગળનો સ્પર્શક $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ માં મળે છે. તો $(OA)^2 - (OB)^2$ ની કિંમત શોધો,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે.

અતિવલય $2x^2 - 3y^2 = 12$ ની જીવા $4x - 3y = 5$ નું મધ્યબિંદુ શોધો.