समीकरण 16x^4 + 16x^3 - 4x - 1 = 0 का एक बहुवि | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण $f(x) = 16x^4 + 16x^3 - 4x - 1 = 0$ है। चूँकि इसका एक बहुविध मूल है,मान लीजिए $\alpha$ बहुविध मूल है। तब $f(\alpha) = 0$ और $f'(\a

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$64$

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(D) दिया गया समीकरण $f(x) = 16x^4 + 16x^3 - 4x - 1 = 0$ है। चूँकि इसका एक बहुविध मूल है,मान लीजिए $\alpha$ बहुविध मूल है। तब $f(\alpha) = 0$ और $f'(\alpha) = 0$ होगा। $f'(x) = 64x^3 + 48x^2 - 4$। $f'(\alpha) = 0$ रखने पर $16\alpha^3 + 12\alpha^2 - 1 = 0$ प्राप्त होता है। $f(\alpha) = 16\alpha^4 + 16\alpha^3 - 4\alpha - 1 = 0$ में $16\alpha^3 = 1 - 12\alpha^2$ प्रतिस्थापित करने पर $16\alpha^4 + (1 - 12\alpha^2) - 4\alpha - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो $16\alpha^4 - 12\alpha^2 - 4\alpha = 0$ में सरल हो जाता है। गुणनखंड करने पर $4\alpha(4\alpha^3 - 3\alpha - 1) = 0$ मिलता है। चूँकि $\alpha 
eq 0$,हम $4\alpha^3 - 3\alpha - 1 = 0$ को हल करते हैं,जो $(\alpha - 1)(2\alpha + 1)^2 = 0$ के रूप में गुणनखंडित होता है। $\alpha = 1$ को $f(x)$ में रखने पर $16+16-4-1 
eq 0$ मिलता है। अतः,$\alpha = -\frac{1}{2}$ बहुविध मूल है। $f(x)$ को $(x + \frac{1}{2})^2 = (x^2 + x + \frac{1}{4})$ से विभाजित करने पर,$16x^2 - 4 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $x = \pm \frac{1}{2}$ मिलता है। मूल $\alpha = -\frac{1}{2}, \beta = -\frac{1}{2}, \gamma = -\frac{1}{2}, \delta = \frac{1}{2}$ हैं। अतः $\frac{1}{\alpha^4} + \frac{1}{\beta^4} + \frac{1}{\gamma^4} + \frac{1}{\delta^4} = (-2)^4 + (-2)^4 + (-2)^4 + (2)^4 = 16 + 16 + 16 + 16 = 64$।

समीकरण $16x^4 + 16x^3 - 4x - 1 = 0$ का एक बहुविध मूल है। यदि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ इस समीकरण के मूल हैं,तो $\frac{1}{\alpha^4} + \frac{1}{\beta^4} + \frac{1}{\gamma^4} + \frac{1}{\delta^4} =$

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