left(frac{pi}{6}, 0right) માંથી પસાર થતા અને | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(e^y + 1) \cos x \, dx + e^y \sin x \, dy = 0$ છે. પદોને ગોઠવતા,$\frac{e^y}{e^y + 1} \, dy = -\frac{\cos x}{\sin x} \, dx$ મળે.

Vedclass · Accepted Answer

$y = \log_e(\operatorname{cosec} x - 1)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(e^y + 1) \cos x \, dx + e^y \sin x \, dy = 0$ છે. પદોને ગોઠવતા,$\frac{e^y}{e^y + 1} \, dy = -\frac{\cos x}{\sin x} \, dx$ મળે. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{e^y}{e^y + 1} \, dy = -\int \cot x \, dx$. ધારો કે $u = e^y + 1$,તો $du = e^y \, dy$. સંકલન $\int \frac{1}{u} \, du = -\ln|\sin x| + C$ થાય. તેથી,$\ln(e^y + 1) = -\ln|\sin x| + C$,જે $\ln((e^y + 1) \sin x) = C$ માં પરિણમે છે. આથી $(e^y + 1) \sin x = K$ (જ્યાં $K = e^C$). વક્ર $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = \frac{\pi}{6}$ અને $y = 0$ મૂકતા: $(e^0 + 1) \sin(\frac{\pi}{6}) = K \implies (1 + 1) \cdot \frac{1}{2} = K \implies K = 1$. આમ,$(e^y + 1) \sin x = 1$,જેનો અર્થ છે કે $e^y + 1 = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$. તેથી,$e^y = \operatorname{cosec} x - 1$,અને $y = \log_e(\operatorname{cosec} x - 1)$.

$\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ માંથી પસાર થતા અને વિકલ સમીકરણ $(e^y+1) \cos x \, dx + e^y \sin x \, dy = 0$ નું સમાધાન કરતા વક્રનું સમીકરણ શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\sec^2 x \tan y \, dx + \sec^2 y \tan x \, dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $y=y(x), y \in [0, \frac{\pi}{2})$ એ વિકલ સમીકરણ $\sec y \frac{dy}{dx} - \sin(x+y) - \sin(x-y) = 0$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $y(0)=0$,તો $5y'(\frac{\pi}{2})$ ની કિંમત $......$ થાય.

વિકલ સમીકરણ $x \, dy + y \, dx - \sqrt{1 - x^2 y^2} \, dx = 0$ નો ઉકેલ શું છે?

વિકલ સમીકરણ $x^2(y+1) dx + y^2(x-1) dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શું છે? (જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.)

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module