left(frac{pi}{6}, 0right) से गुजरने वाले और अ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(e^y + 1) \cos x \, dx + e^y \sin x \, dy = 0$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{e^y}{e^y + 1} \, dy = -\frac{\cos x

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$y = \log_e(\operatorname{cosec} x - 1)$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(e^y + 1) \cos x \, dx + e^y \sin x \, dy = 0$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{e^y}{e^y + 1} \, dy = -\frac{\cos x}{\sin x} \, dx$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{e^y}{e^y + 1} \, dy = -\int \cot x \, dx$। माना $u = e^y + 1$,तो $du = e^y \, dy$। समाकलन $\int \frac{1}{u} \, du = -\ln|\sin x| + C$ हो जाता है। अतः,$\ln(e^y + 1) = -\ln|\sin x| + C$,जो $\ln((e^y + 1) \sin x) = C$ में सरल हो जाता है। इससे $(e^y + 1) \sin x = K$ (जहाँ $K = e^C$) प्राप्त होता है। वक्र $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ से गुजरता है,इसलिए $x = \frac{\pi}{6}$ और $y = 0$ रखने पर: $(e^0 + 1) \sin(\frac{\pi}{6}) = K \implies (1 + 1) \cdot \frac{1}{2} = K \implies K = 1$। अतः,$(e^y + 1) \sin x = 1$,जिसका अर्थ है $e^y + 1 = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$। इसलिए,$e^y = \operatorname{cosec} x - 1$,और $y = \log_e(\operatorname{cosec} x - 1)$।

$\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ से गुजरने वाले और अवकल समीकरण $(e^y+1) \cos x \, dx + e^y \sin x \, dy = 0$ को संतुष्ट करने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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