उस परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभि (0, | vedclass

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Question

(C) माना नाभि $S(0, 0)$ है और शीर्ष पर स्पर्श रेखा $x - y + 1 = 0$ है।चूँकि नियता (directrix) शीर्ष पर स्पर्श रेखा के समानांतर है,इसलिए नियता का समीकर

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${x^2} + {y^2} + 2xy - 4x + 4y - 4 = 0$

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(C) माना नाभि $S(0, 0)$ है और शीर्ष पर स्पर्श रेखा $x - y + 1 = 0$ है।चूँकि नियता (directrix) शीर्ष पर स्पर्श रेखा के समानांतर है,इसलिए नियता का समीकरण $x - y + \lambda = 0$ मानिए।नाभि $S(0, 0)$ से शीर्ष पर स्पर्श रेखा की दूरी $d_1 = \frac{|0 - 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।नाभि $S(0, 0)$ से नियता की दूरी $d_2 = \frac{|0 - 0 + \lambda|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|\lambda|}{\sqrt{2}}$ है।चूँकि नाभि से नियता की दूरी,नाभि से शीर्ष पर स्पर्श रेखा की दूरी की दोगुनी होती है,इसलिए $d_2 = 2d_1$।$\frac{|\lambda|}{\sqrt{2}} = 2 	imes \frac{1}{\sqrt{2}} \implies |\lambda| = 2$।अतः नियता का समीकरण $x - y + 2 = 0$ है।परवलय पर किसी बिंदु $P(x, y)$ के लिए,$SP^2 = PM^2$।$x^2 + y^2 = \left(\frac{|x - y + 2|}{\sqrt{2}}ight)^2$।$2(x^2 + y^2) = (x - y + 2)^2$।$x^2 + y^2 + 2xy - 4x + 4y - 4 = 0$।

उस परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभि $(0, 0)$ है और शीर्ष पर स्पर्श रेखा $x - y + 1 = 0$ है।

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