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Question

(A) रेखा $\frac{x - 5}{4} = \frac{y - 7}{4} = \frac{z + 3}{-5}$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण $A(x - 5) + B(y - 7) + C(z + 3) = 0$ है,जहाँ $4A +

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$17x - 47y - 24z + 172 = 0$

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(A) रेखा $\frac{x - 5}{4} = \frac{y - 7}{4} = \frac{z + 3}{-5}$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण $A(x - 5) + B(y - 7) + C(z + 3) = 0$ है,जहाँ $4A + 4B - 5C = 0$ $(i)$ है।चूँकि दूसरी रेखा $\frac{x - 8}{7} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z - 5}{3}$ भी इस समतल में स्थित है,इसलिए बिंदु $(8, 4, 5)$ समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा: $A(8 - 5) + B(4 - 7) + C(5 + 3) = 0$,जो $3A - 3B + 8C = 0$ (ii) में सरल होता है।साथ ही,दूसरी रेखा का दिशा सदिश अभिलंब सदिश $(A, B, C)$ के लंबवत होना चाहिए,इसलिए $7A + 1B + 3C = 0$ (iii) है।दिशा सदिशों $(4, 4, -5)$ और $(7, 1, 3)$ का क्रॉस गुणनफल लेने पर:अभिलंब सदिश $\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 4 & 4 & -5 \ 7 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 + 5) - \hat{j}(12 + 35) + \hat{k}(4 - 28) = 17\hat{i} - 47\hat{j} - 24\hat{k}$.अतः,$A = 17, B = -47, C = -24$.समतल का समीकरण $17(x - 5) - 47(y - 7) - 24(z + 3) = 0$ होगा।$17x - 85 - 47y + 329 - 24z - 72 = 0$.$17x - 47y - 24z + 172 = 0$.

उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसमें रेखाएँ $\frac{x - 5}{4} = \frac{y - 7}{4} = \frac{z + 3}{-5}$ और $\frac{x - 8}{7} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z - 5}{3}$ स्थित हैं।

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समतलों $x - y + z - 5 = 0$ और $x - 3y - 6 = 0$ के प्रतिच्छेदन से बनने वाली रेखा के दिक अनुपात ज्ञात कीजिए:

रेखा $\bar{r}=(\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ और समतल $\bar{r} \cdot(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$ के बीच का न्यून कोण ज्ञात कीजिए।

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बिंदु $O(\vec{0})$ की समतल $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=5$ से सदिश $2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}$ के समांतर मापी गई दूरी क्या है?

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