समतलों $x + y + z = 1$ और $2x + 3y - z + 4 = 0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले और $x$-अक्ष के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि रेखाएँ $x = 1 + s, y = -3 - \lambda s, z = 1 + \lambda s$ और $x = t/2, y = 1 + t, z = 2 - t$,जहाँ $s$ और $t$ क्रमशः प्राचल हैं,समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

धनात्मक दिक्-कोसाइन वाली एक रेखा बिंदु $P(2, -1, 2)$ से होकर गुजरती है और निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है। यदि यह रेखा समतल $2x + y + z = 9$ को बिंदु $Q$ पर मिलती है,तो लंबाई $PQ$ ज्ञात कीजिए।

समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}+3 \hat{j})-6=0$ और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}-4 \hat{k})=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए,जिसकी मूल बिंदु से लंबवत दूरी एक इकाई है।

मान लीजिए $L_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{2}$ और $L_2: \frac{x+1}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{1}$ दो रेखाएँ हैं। मान लीजिए $L_3$ एक रेखा है जो बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ से गुजरती है और $L_1$ तथा $L_2$ दोनों के लंबवत है। यदि $L_3$,$L_1$ को प्रतिच्छेद करती है,तो $|5\alpha-11\beta-8\gamma|$ का मान ज्ञात कीजिए:

$(4, -1, 2)$ और $(-3, 2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा समतल को $(-10, 5, 4)$ बिंदु पर समकोण पर मिलती है,तो समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।