શંકુ ${x^2} - {y^2} - 8x + 2y + 11 = 0$ ના બિંદુ $(2, 1)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ શું છે?

અતિવલય $9x^2 - 4y^2 = 36$ માટે રેખા $y = 2x$ ને સમાંતર જીવાઓના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો.

ધારો કે $S$ એ રેખાઓની જોડી $4x - 3y = 12\alpha$ અને $4\alpha x + 3\alpha y = 12$ ના છેદબિંદુનો બિંદુપથ દર્શાવે છે, જ્યાં $\alpha$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ પર બદલાય છે। ધારો કે $T$ એ $S$ ને સ્પર્શતી સ્પર્શક રેખા છે જે બિંદુઓ $(p, 0)$ અને $(0, q)$, $q > 0$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $4x - \frac{3}{\sqrt{2}}y = 0$ ને સમાંતર છે। તો $pq$ નું મૂલ્ય શોધો। ($\sqrt{2}$ માં)

તોપના ગોળાનો અવાજ સ્થાન $A$ કરતા સ્થાન $B$ પર એક સેકન્ડ મોડો સંભળાય છે. જો અવાજની ઝડપ સમાન હોય,તો

જો $\frac{x^2}{\alpha+3}+\frac{y^2}{2-\alpha}=1$ એ અતિવલય (hyperbola) દર્શાવતું હોય,તો $\alpha$ કયા અંતરાલમાં હશે?

ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ ધરાવતા અતિવલયની નાભિલંબની લંબાઈ $9$ છે અને નિયામિકાઓ $x = \pm \frac{4}{\sqrt{13}}$ છે. જો રેખા $y - \sqrt{3}x + \sqrt{3} = 0$ આ અતિવલયને $(x_0, y_0)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,અને $m$ એ $(x_0, y_0)$ બિંદુના નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર હોય,તો $4e^2 + m$ ની કિંમત ........... થાય.