दीर्घवृत्त $x^2 + 4y^2 = 8$ और परवलय $y^2 = 4x$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के समीकरण क्या हैं?

दो वक्र परिवारों $y^2=4ax$ ($a$ एक प्राचल है) और $x^2+\frac{y^2}{2}=c^2$ ($c$ एक प्राचल है) पर विचार करें। यदि प्रत्येक परिवार से एक वक्र चुना जाता है, तो उन दो वक्रों के बीच का कोण क्या है?

यदि $e$ और $e^{\prime}$ क्रमशः दीर्घवृत्त $5x^2 + 9y^2 = 45$ और अतिपरवलय $5x^2 - 4y^2 = 45$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो $ee^{\prime}$ का मान ज्ञात कीजिए।

परवलय $(x - 1)^2 = 4(y - 2)$ और दीर्घवृत्त $\frac{(x - 1)^2}{1} + \frac{(y - 2)^2}{2} = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की प्रवणताएँ $m_1$ और $m_2$ हैं। तब $m_1^2 + m_2^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $P$ पर अभिलंब वक्र को पुनः बिंदु $Q$ पर मिलता है,और यदि $PQ$ तथा $Q$ पर अभिलंब $x$-अक्ष के साथ क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ कोण बनाते हैं,तो $\tan \alpha (\tan \alpha + \tan \beta)$ का मान क्या है?

वक्रों $y^{2}=4ax$ और $x^{2}=4by$ के प्रतिच्छेदन का कोण ज्ञात कीजिए।