फलन f(x) = begin{cases} frac{pi}{4} + tan^{-1 | vedclass

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Question

(A) फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:$f(x) = \begin{cases} \frac{\pi}{4} + 	an^{-1} x, & x \in [-1, 1] \ \frac{1}{2}(-x-1), & x < -1 \ \frac{1

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$R - \{1\}$ पर सतत और $R - \{-1, 1\}$ पर अवकलनीय है

Vedclass · Answer

(A) फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:$f(x) = \begin{cases} \frac{\pi}{4} + 	an^{-1} x, & x \in [-1, 1] \ \frac{1}{2}(-x-1), & x  1 \end{cases}$$x = -1$ पर सांतत्य की जाँच:$LHL = \lim_{x 	o -1^-} \frac{1}{2}(-x-1) = 0$$RHL = \lim_{x 	o -1^+} (\frac{\pi}{4} + 	an^{-1} x) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$चूँकि $LHL = RHL = f(-1)$,फलन $x = -1$ पर सतत है।$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच:$LHL = \lim_{x 	o 1^-} (\frac{\pi}{4} + 	an^{-1} x) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$RHL = \lim_{x 	o 1^+} \frac{1}{2}(x-1) = 0$चूँकि $LHL 
eq RHL$,फलन $x = 1$ पर असतत है।$x = -1$ पर अवकलनीयता की जाँच:$LHD = \frac{d}{dx} [\frac{1}{2}(-x-1)] = -\frac{1}{2}$$RHD = \frac{d}{dx} [\frac{\pi}{4} + 	an^{-1} x] = \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+(-1)^2} = \frac{1}{2}$चूँकि $LHD 
eq RHD$,फलन $x = -1$ पर अवकलनीय नहीं है।अतः,फलन $R - \{1\}$ पर सतत है और $R - \{-1, 1\}$ पर अवकलनीय है।

फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x, & |x| \leq 1 \\ \frac{1}{2}(|x|-1), & |x| > 1 \end{cases}$ है:

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