फलन y = e^{-|x|} है | vedclass

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Question

(C) हमारे पास,$f(x) = \begin{cases} e^x, & x < 0 \ e^{-x}, & x \ge 0 \end{cases}$ है।स्पष्ट रूप से,$f(x)$ सभी $x 
eq 0$ के लिए सतत और अवकलनीय है।अब,

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$x = 0$ पर सतत लेकिन अवकलनीय नहीं

Vedclass · Answer

(C) हमारे पास,$f(x) = \begin{cases} e^x, & x स्पष्ट रूप से,$f(x)$ सभी $x 
eq 0$ के लिए सतत और अवकलनीय है।अब,$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0} e^x = 1$ और $\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} e^{-x} = 1$ है।साथ ही,$f(0) = e^0 = 1$ है। चूंकि $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0)$,इसलिए फलन $x = 0$ पर सतत है।अब,$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:$x = 0$ पर बायां अवकलज $(LHD)$ $\frac{d}{dx}(e^x) |_{x=0} = e^0 = 1$ है।$x = 0$ पर दायां अवकलज $(RHD)$ $\frac{d}{dx}(e^{-x}) |_{x=0} = -e^0 = -1$ है।चूंकि $x = 0$ पर $LHD 
eq RHD$ है,इसलिए फलन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।अतः,$f(x) = e^{-|x|}$ $x = 0$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

फलन $y = e^{-|x|}$ है

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यदि $f(x) = \min \{1, x^2, x^3\}$ है,तो

फलन $g(x) = \begin{cases} x + b, & x < 0 \\ \cos x, & x \geqslant 0 \end{cases}$ को $x = 0$ पर अवकलनीय बनाया जा सकता है।

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