फलन f(x) = intlimits_0^x sqrt{1 - t^4} , dt इ | vedclass

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Question

(D) $1$. प्रांत: समाकल्य $\sqrt{1 - t^4}$ तब परिभाषित होता है जब $1 - t^4 \ge 0$,जिसका अर्थ है $t^4 \le 1$,अतः $t \in [-1, 1]$। इस प्रकार,$f(x)$ अंतरा

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उपरोक्त सभी

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(D) $1$. प्रांत: समाकल्य $\sqrt{1 - t^4}$ तब परिभाषित होता है जब $1 - t^4 \ge 0$,जिसका अर्थ है $t^4 \le 1$,अतः $t \in [-1, 1]$। इस प्रकार,$f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर परिभाषित है।$2$. एकदिष्टता: कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,$f'(x) = \sqrt{1 - x^4}$। $x \in (-1, 1)$ के लिए,$f'(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।$3$. समता/विषमता: $f(-x) = \int\limits_0^{-x} \sqrt{1 - t^4} \, dt$। मान लीजिए $t = -u$,तो $dt = -du$ होगा। जब $t=0, u=0$ और जब $t=-x, u=x$ होगा। अतः $f(-x) = \int\limits_0^x \sqrt{1 - (-u)^4} (-du) = -\int\limits_0^x \sqrt{1 - u^4} \, du = -f(x)$। इसलिए,$f(x)$ एक विषम फलन है।चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

फलन $f(x) = \int\limits_0^x \sqrt{1 - t^4} \, dt$ इस प्रकार है कि

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$\int_{0}^{1} 9x^8 dx + \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx$ का मान है

एक सतत और अवकलनीय फलन $f$ सभी वास्तविक $x$ के लिए शर्त $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ को संतुष्ट करता है। तो:

मान लीजिए ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{1 + x}}} \,dx$ और ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{e^{{x^3}}}\left( {2 - {x^3}} \right)}}} \,dx$ है,तो $\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $b_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{2} nx}{\sin x} dx$,$n \in N$,तो

यदि ${I_n} = \int_{ - n}^n {{{\tan }^2}\{x\}dx} $ है,तो (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है और $n \in N$):

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