अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = cos^2(3x+y) का व्य | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \cos^2(3x+y)$.माना $3x+y = t$. तब,$3 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}

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$2\sqrt{3}(x+C)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \cos^2(3x+y)$.माना $3x+y = t$. तब,$3 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 3$.इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dt}{dx} - 3 = \cos^2 t$,जो देता है $\frac{dt}{dx} = \cos^2 t + 3$.चरों को अलग करने पर: $\frac{dt}{\cos^2 t + 3} = dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dt}{\cos^2 t + 3} = \int dx$.अंश और हर को $\sec^2 t$ से गुणा करने पर: $\int \frac{\sec^2 t dt}{1 + 3\sec^2 t} = \int dx$.$\sec^2 t = 1 + 	an^2 t$ का उपयोग करने पर: $\int \frac{\sec^2 t dt}{1 + 3(1 + 	an^2 t)} = \int \frac{\sec^2 t dt}{4 + 3	an^2 t} = \int dx$.माना $	an t = m$,तब $\sec^2 t dt = dm$.समाकलन इस प्रकार होगा: $\int \frac{dm}{4 + 3m^2} = \frac{1}{3} \int \frac{dm}{\frac{4}{3} + m^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}} 	an^{-1}\left(\frac{m}{2/\sqrt{3}}ight) = x + C$.सरल करने पर: $\frac{1}{2\sqrt{3}} 	an^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}m}{2}ight) = x + C$.$2\sqrt{3}$ से गुणा करने पर: $	an^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} 	an tight) = 2\sqrt{3}(x+C)$.चूंकि $t = 3x+y$,इसलिए $	an^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} 	an(3x+y)ight) = 2\sqrt{3}(x+C)$.अतः,$f(x) = 2\sqrt{3}(x+C)$.

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \cos^2(3x+y)$ का व्यापक हल $\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \tan(3x+y)\right) = f(x)$ है। तो,$f(x) =$

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