अवकल समीकरण left(x sin frac{y}{x}right) dy = | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(x \sin \frac{y}{x}\right) dy = \left(y \sin \frac{y}{x} - x\right) dx$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}

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$\log |x| - \cos \frac{y}{x} = c$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(x \sin \frac{y}{x}\right) dy = \left(y \sin \frac{y}{x} - x\right) dx$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin(y/x) - x}{x \sin(y/x)}$। चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$। इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx \sin v - x}{x \sin v} = \frac{v \sin v - 1}{\sin v} = v - \frac{1}{\sin v}$। दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sin v}$। चरों को अलग करने पर: $\sin v \, dv = -\frac{1}{x} dx$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sin v \, dv = -\int \frac{1}{x} dx$। $-\cos v = -\log |x| + C$। पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\log |x| - \cos v = C$। $v = \frac{y}{x}$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\log |x| - \cos \frac{y}{x} = C$।

अवकल समीकरण $\left(x \sin \frac{y}{x}\right) dy = \left(y \sin \frac{y}{x} - x\right) dx$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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