શંકુ x^2-(y-1)^2=1 ના આલેખમાં ઉગમબિંદુમાંથી પ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - (y - 1)^2 = 1$ છે. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી સ્પર્શક રેખા $y = mx$ ધારો. રેખા અતિવલયને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(0,

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - (y - 1)^2 = 1$ છે. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી સ્પર્શક રેખા $y = mx$ ધારો. રેખા અતિવલયને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(0, 1)$ થી રેખા $mx - y = 0$ નું લંબ અંતર અર્ધ-અનુપ્રસ્થ અક્ષ $a = 1$ જેટલું હોવું જોઈએ. બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ ના અંતરના સૂત્ર મુજબ,$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$. $1 = \frac{|m(0) - 1(1)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}$ $\Rightarrow 1 = \frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}}$ $\Rightarrow m^2 + 1 = 1$ $\Rightarrow m = 0$. પરંતુ ઢાળ ધન હોવો જોઈએ. સ્પર્શબિંદુ $(a, b)$ માટે $b = ma$ અને $a^2 - (b - 1)^2 = 1$ થાય. વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y - 1}$ મળે. બિંદુ $(a, b)$ પર ઢાળ $m = \frac{a}{b - 1}$ છે. $m = \frac{b}{a}$ હોવાથી,$\frac{b}{a} = \frac{a}{b - 1} \Rightarrow a^2 = b^2 - b$. $a^2 = b^2 - b$ ને અતિવલયના સમીકરણમાં મુકતા: $(b^2 - b) - (b^2 - 2b + 1) = 1$ $\Rightarrow b - 1 = 1$ $\Rightarrow b = 2$. તેથી $a^2 = 2^2 - 2 = 2 \Rightarrow a = \sqrt{2}$. આમ,$\sin^{-1}\left(\frac{a}{b}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

Similar Questions

જો વક્રો $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ અને $\frac{x^2}{l^2} - \frac{y^2}{m^2} = 1$ એકબીજાને લંબરૂપે છેદે,તો :-

$x^2 - y^2 = a^2$ અતિવલયની જીવાઓના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો જે $y^2 = 4ax$ પરવલયને સ્પર્શે છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module