$\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) dy = 0$ रूप वाले समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए कौन सा प्रतिस्थापन किया जाना चाहिए?

अवकल समीकरण $y \frac{dx}{dy} = x(\log_e x - \log_e y + 1)$,$x > 0, y > 0$ का हल वक्र जो बिंदु $(e, 1)$ से गुजरता है,है

यदि अवकल समीकरण $y^{2} dx + (x^{2} - xy + y^{2}) dy = 0$ का हल वक्र $y=y(x)$ बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता है और रेखा $y = \sqrt{3}x$ को बिंदु $(\alpha, \sqrt{3}\alpha)$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो $\log_{e}(\sqrt{3}\alpha)$ का मान क्या होगा?

अवकल समीकरण $x \cos \left( \frac{y}{x} \right) (y dx + x dy) = y \sin \left( \frac{y}{x} \right) (x dy - y dx)$ के लिए,(जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है) व्यापक हल क्या है?

अवकल समीकरण $(x^3-3xy^2)dx = (y^3-3x^2y)dy$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए, जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है:

अवकल समीकरण $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + \left(1-\frac{x}{y}\right) e^{\frac{x}{y}} dy = 0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए ($C$ एक स्वेच्छ अचर है)।