$P(0,3,0)$,$Q(0,0,4)$ और $R(0,3,4)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का अंतःकेंद्र ज्ञात कीजिए।

$A(2,3,5), B(\alpha, 3,3)$ और $C(7,5, \beta)$ एक त्रिभुज के शीर्ष हैं। यदि $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका निर्देशांक अक्षों के साथ समान झुकाव पर है,तो $\cos^{-1}\left(\frac{\alpha}{\beta}\right) = $

बिंदु $P(3, 8, 2)$ की रेखा $\frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-2}{3}$ से समतल $3x + 2y - 2z + 15 = 0$ के समांतर मापी गई दूरी ज्ञात कीजिए।

बिंदु $P(1,3,2)$ से गुजरने वाली और रेखा $\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-6}{1}$ के समानांतर एक सीधी रेखा,समतल $L_1: x-y+3z=6$ को बिंदु $Q$ पर काटती है। एक अन्य सीधी रेखा जो $Q$ से गुजरती है और समतल $L_1$ के लंबवत है,समतल $L_2: 2x-y+z=-4$ को बिंदु $R$ पर काटती है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ रेखाखंड $PQ$ की लंबाई $\sqrt{6}$ है
$(B)$ $R$ के निर्देशांक $(1,6,0)$ हैं
$(C)$ त्रिभुज $PQR$ का केंद्रक $\left(\frac{4}{3}, \frac{14}{3}, \frac{5}{3}\right)$ है
$(D)$ त्रिभुज $PQR$ का परिमाप $\sqrt{6}+\sqrt{13}+\sqrt{11}$ है

जब अक्षों को बिंदु $(2, -3, 1)$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो $2x^2 + 3y^2 - z^2 - 8x + 18y + 2z + 9 = 0$ का रूपांतरित समीकरण क्या होगा?

यदि $P \equiv (0, 1, 0)$ और $Q \equiv (0, 0, 1)$ है,तो समतल $x + y + z = 3$ पर $PQ$ का प्रक्षेप क्या है?