वह अंतराल जिसमें f(x) = 2x + log left(frac{x} | vedclass

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Question

(C) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $f(x) = 2x + \log \left(\frac{x}{2+x}\right)$ किस अंतराल में वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।सबसे पहले

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$(-\infty, -2) \cup (0, \infty)$

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(C) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $f(x) = 2x + \log \left(\frac{x}{2+x}ight)$ किस अंतराल में वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।सबसे पहले,ध्यान दें कि डोमेन के लिए $\frac{x}{2+x} > 0$ होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$।$f(x) = 2x + \log(x) - \log(2+x)$।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f'(x) = 2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{2+x}$।$f'(x) = 2 + \frac{2+x-x}{x(2+x)} = 2 + \frac{2}{x(2+x)} = \frac{2x(2+x) + 2}{x(2+x)} = \frac{2(x^2 + 2x + 1)}{x(2+x)} = \frac{2(x+1)^2}{x(2+x)}$।फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।चूंकि $2(x+1)^2 \ge 0$ सभी $x$ के लिए,$f'(x) > 0$ तब होता है जब $x(2+x) > 0$ और $x 
eq -1$ हो।असमिका $x(2+x) > 0$ अंतराल $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$ के लिए सत्य है।अतः,फलन अंतराल $(-\infty, -2) \cup (0, \infty)$ में वर्धमान है।

वह अंतराल जिसमें $f(x) = 2x + \log \left(\frac{x}{2+x}\right)$ द्वारा निरूपित वक्र वर्धमान है,वह है

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