લેન્થેનાઇડ સંકોચન એ હકીકત માટે જવાબદાર છે કે

કાળા કાગળ પર બે સફેદ ટપકાં $1\, mm$ ના અંતરે છે. તેમને $3\, mm$ ના પ્યુપિલ વ્યાસ ધરાવતી આંખ વડે જોવામાં આવે છે. આ ટપકાં આંખ દ્વારા જોઈ શકાય તેવું મહત્તમ અંતર આશરે કેટલા $m$ હશે? [પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda = 500\, nm$ લો]

એક કણ $h$ ઊંચાઈ પરથી સ્થિર સમક્ષિતિજ સપાટી પર પડે છે અને ઉછળે છે. જો $e$ એ પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક (coefficient of restitution) હોય,તો ઉછળવાનું બંધ થાય તે પહેલાં કાપેલું કુલ અંતર કેટલું હશે?

જો એક બિંદુ $(x, y) = (\tan \theta + \sin \theta, \tan \theta - \sin \theta)$ હોય,તો $(x, y)$ નો બિંદુપથ શું છે?

જો $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $x^2+bx+c=0$ ના બીજ હોય અને $\alpha+h, \beta+h$ એ સમીકરણ $x^2+qx+r=0$ ના બીજ હોય,તો $h$ ની કિંમત શોધો.

જો $\int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x=f(x)-\log \left(1+x^2\right)$ હોય,તો $f(x)$ ની કિંમત શોધો.